لماذا نتعلم المصفوفات؟ لماذا نهتم بكثيرات الحدود؟ ما هو معنى الأسس غير الكسرية مثل ٣ أس جذر خمسة؟ كيف لنا أن نحسب لوغاريتم العدد ١٣.٤؟ من أين أتت قوانين الأشكال الهندسية؟
كثير من مفاهيم الرياضيات نشأت لتعالج مشاكل محسوسة، ومن ثم تطورت عبر السنين حتى وصلت للصور المجردة التي هي عليها اليوم. فمثلا علم حساب المثلثات كان يستخدم للحسابات الفلكية (مواقع النجوم ودورة القمر) واللوغاريتمات نشأت لتبسيط الحسابات الورقية (في زمن لم تصنع فيه بعد الحاسبات الرقمية). أما اليوم فكلاهما يعرض كتعريف رياضي منطقي وكمجموعة من القوانين. عرض مجرد.
التجريد مفيد، فهو يعطيك خلاصة العلم، وسلاسة في الحساب والاستنتاج. لكنه يخفي كثيرا من الحقائق (والقصص والمشاعر مثل قصة الحب لعالم الرياضيات الصغير غالوا أو قصص الخداع لأتباع فيثاغورس الدجالين).
كيف لنا أن نكتشف هذه الخفايا؟
أعتقد أن أفضل الطرق هي التعمق في علم الرياضيات، ودراسة مواضيعها المتقدمة.
طبيعة المواضيع المتقدمة تحفزك على التفكير العميق، ومن خلاله تكتسب رؤى جديدة.
ربما لاحظت ذلك في سنوات التخصص الجامعية، أو ربما لا. في الحقيقة، لم يحظ الكل بمدرسين شغوفين بالرياضيات ماهرين في كشف جمالها العميق. ولأني تتلمذت على أيد بارعة، ولأن ذاكرتي لا تزال حاضرة…
أكتب هذه النشرة لي، ولك، ولكل من يرغب بمعرفة المواضيع الأساسية في الرياضيات (المتقدمة).
ما هي الرياضيات المتقدمة (بإختصار)
الجميع يعرف أن الرياضيات مهتمة بالحساب. والغالب يحصر علم الرياضيات في الحساب. قلة هم من يعرفوا أن علماء الرياضيات منشغلين في بناء تعاريف دقيقة وبراهين محكمة.
الرياضيات المتقدمة هي البنية الأساسية لمنطق رياضي دقيق. هي البوابة لدخول عالم علماء الرياضيات—أو بالأحرى البوابات. الرياضيات المتقدمة تبدأ من المواضيع التي تدرس بعد التفاضل والتكامل، وتشمل:
الرياضيات المنفصلة – Discrete Math
التحليل الحقيقي – Real Analysis
الجبر الخطي – Linear Algebra
الجبر المجرد – Abstract Algebra
ما الذي تدرسه هذه المواضيع؟ وما علاقتها بالرياضيات المتعارف عليها؟
لنفصل كل موضوع على حدة.
بداية الصرامة: الرياضيات المنفصلة
الرياضيات المنفصلة هي تدريب على البرهنة الرياضية وكتابة التعاريف الدقيقة.
في هذه المرحلة، أنت لا تهتم بالرياضيات كعلم حساب فقط، بل حساب وكتابة. ستكتب أفكارك وتنظمها لتقنع القارئ بصحة النظريات. ستتعلم الكثير من الحقائق عن قابلية القسمة، وستتعلم لماذا هذه الحقائق صحيحة. ستتعلم تعريف الأعداد الكسرية تعريفا دقيقا وتعريف العمليات الحسابية الكسرية.
ربما يتسائل أحد، لماذا نتعلم تعريف العمليات الحسابية التي تعلمناها في المرحلة الابتدائية؟
في المرحلة الابتدائية تعلمنا الإجراء. تعلمنا أن الجمع يتطلب توحيد المقامات، لكن هنالك ألف طريقة وطريقة لتوحيد المقامات. هل كلها تعطي نفس النتيجة؟ ما الدليل؟
ستكسب أبجديات التفكير الرياضي، التفكير في لماذا والبحث عن الدليل.
أليس التفكير لهذا الحد مبالغة ومشقة؟
مشقة، نعم. مبالغة، لا. ستبدأ ثقتك بالنمو بمعدل أسي من الآن وصاعدا.
الرياضيات المنفصلة تعتبر نقطة البداية لتعلم الرياضيات المتقدمة. بعد هذه المادة، أمامك ٣ مواد (تحليل حقيقي، جبر خطي، جبر مجرد)، بإمكانك دراستها بأي ترتيب ممكن.
العمود الفقري للتفاضل والتكامل: التحليل الحقيقي
في الرياضيات المنفصلة تعلمنا تعريف الأعداد الكسرية. حان الوقت لتعريف الأعداد الحقيقة. ما هي؟ ما الذي يجعلها مختلفة؟ كتب المدرسة تعرفها على أنها أعداد صورها العشرية غير منتهي ولا تتكرر. لكن ما المميز في هذا؟
علم التحليل الحقيقي سيعطيك الأدوات لتعريف الأعداد الحقيقية وتعريف عملياتها الحسابية (ما الدليل على أن جمع الأعداد الحقيقية عملية إبدالية؟). ستتعلم مفاهيم التقارب والتباعد للمتابعات وتعرفها بعبارات دقيقة، وستستخدم هذه المفاهيم لدراسة الدوال الحقيقية والاتصال. والاشتقاق. والتكامل.
مواضيع التحليل الحقيقي دسمة، وأفكاره جديدة. ستحتاج للصبر، والكثير من التمارين. لم تعد تتعامل الآن مع نظريات بسيطة مثل قابلية القسمة. ستواجه تحديات كثيرة. لكن هذه التحديات ستصنع منك مفكرا رياضيا بارع.
متجهات، أطوال، زوايا: الجبر الخطي
ستتعلم عن المتجهات، متجهات أكثر من تلك التي تعلمناها في المدرسة. سترى كثيرات الحدود على أنها متجهات، والدوال متجهات، والمتابعات متجهات، والمصفوفات متجهات. ستجرد فكرة المتجه والفضاء المتجهي. وستتعلم فكرة الأبعاد. ثلاثي الأبعاد. رباعي الأبعاد. خماسي. سداسي. نوني البعد، وإن شئت لامتناهي البعد.
ستتعلم أيضا عن أحد أقوى الأدوات الحسابية: الدوال الخطية.
الدوال خطية لها قدرة عجيبة في تقريب الحسابات. وهذا ليس بالجديد عليك! لنأخذ مثال.
أنت تعرف فكرة اشتقاق الدوال، وأن المشتقة عند نقطة تعطينا ميل المماس عند تلك النقطة. بالتالي يممكن رسم خط المماس. الآن في النقاط المجاورة لنقطة المماس، الخط قريب من رسمة الدالة، أي بإمكاننا القول أن الخط يقرب الدالة. فبدلا من حساب قيمة الدالة (التي قد تكون معقدة) يمكننا استخدام الخط لحساب قيم الدالة في النقاط المجاورة. انظر للصورة لترى الفكرة بشكل أوضح.
المماس (الدالة الخطية) هي أبسط مثال لفكرة التقريب لأنه ذو بعد واحد. هنالك أيضا مماس ذو بعدين (مستوى)، وثلاثة أبعاد، وأربعة… يستخدمون لتقريب دوال ثنائية البعد، ثلاثية البعد، وهكذا.
أنا لا أخبرك تفاصيل هذه المفاهيم، بل فقط أحاول إقناعك بفوائد علم الجبر الخطي.
وإليك هذه الحقيقة العجيبة: كل دالة خطية لها مصفوفة خاصة بها
بالتالي تتحول دراسة الدوال الخطية إلى دراسة المصفوفات!
فلو سأل أحد عن فوائد المصفوفات، بإمكاننا الإجابة بهذه الطريقة:
المصفوفات تساعدنا في إجراء العمليات الحسابية (بسرعة) للدوال الخطية التي هي بدورها تستخدم لتقريب الدوال غير الخطية (والتي هي بدورها تستخدم لوصف الظواهر الطبيعية).
قد تبدو مواضيع الجبر خطي دسمة، لكنها في الواقع خفيفة لطيف مقرمشة.
تجريد التجريد المجرد: الجبر المجرد
إذا لم تصلك الفكرة من العنوان، تخيل هذا الشيء.
أنت تعرف أن جمع الأعداد عملية إبدالية، مثلا ٣ + ٤ هي نفسها ٤ + ٣. دعنا الآن نستبدل الأرقام برموز.
س + ص = ص + س
فكرة واضحة، صحيح؟ هذا إذا كانت س و ص أعداد. لكن هل الفكرة صحيحة لو كانت الزمور تمثل دوال؟ هل صحيح لو كانت مصفوفات؟ مع القليل من التمعن ستجد أن الإجابة هي نعم.
إذن لنهمل تماما حقيقة الرموز ولنبدأ التفكير بشكل مجرد. تخيل وجود مجموعة ما، نرمز لها ز. هذه المجموعة تحتوي على عناصر مثل س و ص ولدينا عملية معينة. ما هي العملية بالضبط؟ لا يهم. المهم أن لدينا شيء يأخذ عنصرين يفعل بهما شيء فيخرج عنصر جديد. هذه هي فكرة العملية. قد تكون جمع، قد تكون ضرب، قد تكون ما تكون.
س (عملية) ص تعطينا العنصر ع
بعد ذلك نضع بعض الشروط مثل كون العملية إبدالية وتجميعية ووجود عنصر محايد ونظير لكل عنصر. ثم نبدأ دراسة هذا النظام من مجموعةزوعناصر وعملية.
الأفكار التي تعرّف بهذه الطريقة تعيش في عالم الجبر المجرد. هذا العلم مشابه للجبر الخطي لكنه أصعب. ستتعلم عن الزمر والحلقات والحقول. سيصبح فهمك للعمليات الحسابية أكثر تجريدا (وبالتالي أكثر سلاسة للحساب والاستنتاج).
مثل التحليل الحقيقي، الجبر المجرد يتطلب التأني والتأمل. أعط نفسك الوقت الكافي لتستوعب الأفكار الجديد ولتستشعر جمالها الرياضي. مارس حل التمارين بجد واجتهاد. وتدريجيا سترى أنك أصبحت أكثر منطقية وإبداعا.
وصلنا للنهاية (وما زلنا في بداية عالم الرياضيات). لقد شاركتك نبذة تعريفية بسيطة للمواد الأساسية في الرياضيات المتقدمة.
الرياضيات المنفصلة
التحليل الحقيقي
الجبر الخطي
الجبر المجرد
آمل أن تكون هذه قد أضافت لك بعض المعلومات عن الرياضيات، وبعض من التشجيع (والفخر).
دمتم بود
أراكم في النشرة القادمة